X
تبلیغات
حسابداری و حسابر سی - جزوه ی آمار

جزوه ی آمار

علم آمار:  

به مجموعه ی روش های علمی اتلاق می شود که برای جمع آوری اطلاعات اولیه،مرتب سازی داده ها،تجزیه وتحلیل داده ها وتفسیرآنها به کار می رود.

اساساً آمارراازلحاظ کاربه2بخش تقسیم می کنند:

1-آمار استنباطی         

2-آمار توصیفی

آماراستنباطی:اصطلاحاً به بخشی از آمار که پارامترهای جامعه را براورد می کند،گفته می شود.چون به شکل براورد است قطعیت ندارد وهمراه با احتمال بیان می شود.

آمارتوصیفی:به شرح و توصیف داده ها می پردازد و هیچ استنباطی از داده ها به عمل نمی دهد.

جامعه:به گروهی ازافرادکه دریک ویژگی مشترک هستندجامعه گفته میشود(حداقل در یک ویژگی)،که اصطلاحاً به این ویژگی مشترک،صفت یا خصوصیت مشترک گفته می شود.درویژگی ها یا صفات دیگر،افراداین جامعه متغیرند. به طورمثال دانشجویان دانشگاه جیرفت به عنوان جامعه آماری وهمه ی افرادی که دراین جامعه قراردارند،درصفت دانشجوبودن دردانشگاه جیرفت مشترکند واحتمالاًدرصفات متغیربایکدیگرمتفاوتند.درجامعه آماری به دنبال صفات متغیر می گردیم وبرای براورد واندازه گیری صفت متغیرکارمی کنیم مثلاً میانگین قد دانشجویان یک دانشگاه

فرد:به هریک ازاعضای جامعه می گویند.

حجم جامعه:به تعدادکل اعضای جامعه گفته می شودکه باحرف نمایش داده می شود.

جامعه ی آماری به لحاظ تعداد 2نوع است:

محدود(دانشجویان یک دانشگاه)

نامحدود(ستارگان کهکشان راه شیری)

خصوصیات آماری جامعه را پارامترمی گویندوعمدتاًاین پارامترهاراباحروف یونانی نمایش می دهند مثلاًبرای نشان دادن میانگین ازحرف (مو)استفاده می شود.

برای پی بردن به پارامترهای یک جامعه چون دسترسی به همه ی افرادجامعه مقرون به صرفه نیست وامکان پذیر   نمی باشد نمونه هایی ازجامعه انتخاب کرده وبااندازه گیری ویژگی های نمونه ی انتخاب شده پارامترهای جامعه رابراورد می کنیم.

آماره:به ویژگی های نمونه( )آماره گفته می شود.برای نشان دادن آماره هاازحروف انگلیسی استفاده می شود.

مثلاًبرای نشان دادن میانگین نمونه از  (ایکس بار)استفاده می شود.

مثال:برای پی بردن به میانگین قد دانشجویان یک دانشگاه،اندازه گیری قد همه ی دانشجویان امکان پذیرنیست بنابراین نمونه هایی ازجامعه انتخاب کرده ومیانگین قد آنها رااندازه گیری می کنیم.این میانگین حاصل از نمونه ها،براوردی ست ازمیانگین قد دانشجویان دانشگاه.

تقسیم بندی صفات:

به ویژگی ها یا خصوصیاتی که درافراد بررسی می شوندصفت میگویند،که درجامعه ی آماری برخی صفات متغیرند.

صفات متغیربه2دسته تقسیم می شوند:1- صفات کمی     2-  صفات کیفی

صفات کیفی:صفاتی هستندکه واحد ندارند،قابل شمارش یااندازه گیری نیستند،هیچ یک ازاعمال ریاضی روی آنهاانجام پذیرنیست ،درآنهامی شودطبقه بندی انجام داد.اصولاًاین صفات به کیفیت می پردازندمثل رنگ ها،گروه های خونی و...

 

صفات کیفی2نوع اند:

1-اسمی:(رنگ چشم،گروه خونی،...). 

2-ترتیبی:درکیفیت نوع پارچه،کیفیت نوع برنج وسایرکالاهاازصفات کیفی ترتیبی استفاده می شود(برنج درجه1و2و3و...)

صفات کمی:صفاتی هستند که قابل شمارش واندازه گیری اند،وسیله و واحداندازه گیری خاص دارندوخودبه2دسته تقسیم می شوند:

1-کمی گسسته:اگربین مقادیر قابل تصور ازیک متغیر،فاصله وجودداشته باشد آن متغیرراکمی گسسته می نامیم.

(جمعیت شهرهای مختلف،تعداد دانشجویان کلاس هاو...)

2-کمی پیوسته:صفاتی هستندکه مقادیرخودشان راازمجموعه ی اعدادحقیقی اختیارمی کنند،یابه عبارت دیگرفاصله ای بین دو مقدارقابل تصورنیست وبین این دومقدارمی توان هرمقدارقابل تصوری راتصورنمود.(طول،عرض،زمان و...)

 

آمارتوصیفی

داده های خام:درآمارتوصیفی مقادیراولیه ای که ازنتایج آزمایش یا تحقیق یا نمونه گیری بدست می آیند راداده های خام می نامند.این داده های خام راتوسط آمارتوصیفی تشریح می کنندیابه بررسی ویژگی های اولیه آنها می پردازند.

این عبارت یعنی چه؟

یعنی از1تا وجود داردوشما عمل جمع رااز تا   انجام دهید.

مثال1)

مثال2)

اصل اول:اگرهمه ی داده هاباعددثابتی جمع شوند یعنی حاصل برابراست با

به طورکلی  می باشد.

اصل دوم:اگر همه ی داده های ما دریک عددثابت ضرب شده باشند یعنی  می توان عدد ثابت رادرحاصل جمع ضرب کرد.به طورکلی  می باشد.

اصل سوم:  می باشد.

اصل چهارم:  می باشد.

 

 

جدول توزیع فراوانی:

برای مرتب سازی داده های خام ازجدول فراوانی داده ها استفاده می شود.هدف ازتنظیم جدول توزیع فراوانی داده هااین است که ببینیم توزیع و فراوانی داده ها به چه شکل است.دراین جدول برخی ازپارامترهای داده های خام نمایش داده   می شود ازجمله:حدود طبقات،فراوانی مطلق،فراوانی نسبی،درصد فراوانی نسبی و...

درستون حدود طبقات،دامنه تعریف می شودکه آن رابا یا نشان می دهند.دامنه تعریف هرطبقه نشان می دهدکه چه رنجی ازاعداد درهرطبقه قرارگرفته اند.

اعدادرابایدمرتب کرد(کوچک به بزرگ-بزرگ به کوچک)سپس بایدحدپایین وبالای هرطبقه رامشخص کرد.

دامنه طبقات( )=  ( برابر است با دامنه ی تغییرات )

دامنه ی تغییرات=(1+کوچکترین عدد- بزرگترین عدد)

  نشان دهنده ی تعداد داده هاست.

مثال3):داده های زیر را درجدول توزیع فراوانی مرتب کنید.

97،98،98،99،100،100،101،102،103،103،103،103،104،104،104،104،105،105،105،106،109،109،110،110،

110

رابااحتساب حدپایین درنظرمی گیریم یعنی دراین مثال رنج طبقه اول 97،98،99است.

 

جمع کل فراوانی های مطلق بایدبرابربا یعنی تعداد کل افراد باشد.

فراوانی نسبی=تعدادافرادهرطبقه(فراوانی مطلق هردسته)تقسیم برتعدادکل افرادهمه ی طبقات باهم

مجموع فراوانی های نسبی=1

مجموع درصدهای فراوانی نسبی=100

درصدفراوانی نسبی=فراوانی نسبی×100

مرکزدسته=نماینده ی هردسته=میانگین حدودبالاوپایین

فراوانی تراکمی یاتجمعی هردسته(صعودی):بااستفاده ازفراوانمی تجمعی می توان گفت چند درصدافرادکمترازمقادیرمشخص اند.مثلاًدرمثال زیر76درصدافرادزیر105هستند ویا80درصدافرادزیر108هستند.

درفراوانی تجمعی فراوانی هردسته را بادسته ی بعدی جمع می کنیم.

درصد مفهوم دیگری ازفراوانی نسبی است که فراوانی یک یا تعدادمعینی مشاهده رانسبت به تعدادکل مشاهدات می سنجیم  وبرمبنای100بیان می شود.این شاخص یکی ازشاخص های معروف آماری است.

فراوانی تجمعی صعودی

فراوانی تجمعی نزولی

درصدفراوانی نسبی

فراوانی نسبی

فراوانی مطلق

حدودطبقات

4

25

16

16/0

4

99-97

8

21

16

16/0

4

102-100

19

17

44

44/0

11

105-103

20

6

4

04/0

1

108-106

25

5

0

2/0

5

111-109

 

 

100

1

25

 

                                   جدول توزیع فراوانی مربوط به مثال3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

پارامترهای آمارتوصیفی:

برای همه ی داده ها نمی توان ازیک نوع میانگین استفاده کردبلکه بایدباتوجه به ماهیت خاص داده هاازیک نوع میانگین خاص برای آنهااستفاده کرد.واریانس،انحراف معیار،دامنه تغییرات وچارک ها،بیانگرتنوع وپراکندگی بین دادها هستند.

مد(نما):اندازه ای ازصفت متغیراست که فراوانی آن باشدوآن رابانماد نشان می دهند.مد،تنهاشاخص مرکزی برای صفات کیفی است.به طورمثال اگرگروه های خونی صفات کیفی محسوب شوند،درجدول توزیع فراوانی زیر،مد  گروه خونیoاست چون بیشترین فراوانی رادر4گروه خونی دارد.

گروه خونی

A

B

AB

O

فراوانی

5

7

10

13

 

ولی درصفات کمی،عددی که بیشترین فراوانی رادارد،مداست.به طورمثال بین داده های زیر،مد عدد2است.

1،2،2،2،3،4،5،6،7

توزیع چند نمایی:دربرخی صفات می توان بیش ازیک مد،یافت.به این توزیع هاچندنمایی می گویند.به طورمثال درداده های زیرتوزیع2نمایی ست:1،2،2،2،4،5،5،5،6،7

محاسبه مد درجدول توزیع فراوانی:

ابتداطبقه ای که فراوانی آن است رامشخص می کنیم وآن راطبقه ی مد دار می نامیم ومد راازفرمول زیرمحاسبه می کنیم:

=تفاضل فراوانی طبقه ی مد دار ازطبقه ی قبلش

=تفاضل فراوانی طبقه ی مد دار ازطبقه ی بعد

c=فاصله ی طبقات (دامنه ی طبقات)

L=حدپایین طبقه ی مد دار

میانه:

یکی دیگرازشاخص های مرکزی است که آن رابا نشان می دهند.اگر داده هارابه طورصعودی مرتب کنیم میانه اندازه ای ازصفت متغیراست که دروسط قرارگرفته باشد.

الف)اگرتعداد داده ها فردباشد،بعدازمرتب سازی صعودی یانزولی ،میانه همان داده ی وسط است:5،7،3،6،9

بعدازمرتب سازی صعودی6میانه خواهدبود.

ب)اگرتعداد داده هازوج باشد،بعد ازمرتب سازی ،مجموع دو داده ی وسط تقسیم بر2میانه خواهدبود:12،9،7،6،5،3

درجدول توزیع فراوانی،میانه راازفرمول محاسبه می کنند.

L=حدپایین طبقه ی میانه دار

n=تعداد داده ها

=فراوانی تجمعی طبقه ی قبل

=فراوانی تجمعی طبقه ی میانه دار

·         اگر بخواهیم مجموعه داده ها رابه لحاظ تعداد تقسیم بندی کنیم،چارک ها به دست خواهندآمد.

میانه=اگرداده ها رابااستفاده از1شاخص به2قسمت تقسیم کنیم.

چارک=اگر داده ها رابااستفاده از3شاخص به4دسته تقسیم کنیم هرکدام ازدسته ها،یک چارک است.

دهک=اگر داده هارابا9شاخص به10دسته تقسیم کنیم هردسته یک دهک نام می گیرد.

صدک=اگر داده هارابا99شاخص به100قسمت تقسیم کنیم هرقسمت یک صدک است.

برای پیداکردن میانه درمثال3 به این صورت عمل می کنیم:

ابتداتعداد داده هارابر2تقسیم می کنیم( )

سپس بایدبفهمیم عددحاصل از  درکدام دسته قراردارد.که دراین مثال دوازدهمین عدد دردسته ی105-103قراردارد.

برای اینکه بفهمیم عددحاصل از درکدام دسته است بایدفراوانی های مطلق دسته هاراازدسته ی اول به اخرجمع کنیم تابه عددموردنظربرسیم.

برای پیداکردن چارک اول درجدول توزیع فراوانی به صورت زیرعمل می کنیم:

 

·         چارک  دوم همان میانه است.

·         چارک  پنجم در دهک ها،میانه است.

·         چارک پنجاهم درصدک ها،میانه است.

میانگین حسابی:

مهم ترین شاخص است که آن رابه اختصار میانگین می گویند.اندازه ای ازصفت متغیر است که اگربه جای افراد جامعه قرار گیرد،مجموعه صفت درجامعه تغییرنمی کند.آن رابا  ومیانگین نمونه رابا نشان می دهند.

پارامترهای جامعه رانمی توان اندازه گیری کردبلکه باید با،نمونه گیری یا میانگین ،آنهارابرآوردکرد.که این میانگین نمونه ها،برآوردی ازمیانگین جامعه است.

اگر یک متغیرتصادفی باشد ودارای مقادیر باشد،میانگین این جامعه خواهدبود.به این صورت که:

برای محاسبه ی میانگین درجدول توزیع فراوانی به صورت زیرعمل می کنیم:

ابتدابرای هرطبقه نماینده(مرکزدسته)رامشخص می کنیم وبعدازفرمول زیر رامحاسبه می کنیم:

                که           است و        =فراوانی مطلق.

خواص میانگین:

1-مجموع انحرافات داده ها ازمیانگین برابر صفر است.یعنی:

2-مجموع مجذور انحرافات ازمیانگین فقط درمیانگین حسابی نسبت به سایر میانگین ها است.یعنی:

3-اگربه تمام داده هامقدارثابت رااضافه یا کم کنیم میانگین به اندازه ی زیاد یاکم می شود.یعنی:

4-هرگاه تمام داده ها رادرعدد ثابتی مانند ضرب کنیم میانگین نیز در ضرب می شود.یعنی:

 

ازخاصیت3و4نتیجه می شود:

 

 

میانگین وزنی:

میانگین هندسی:اگر مقادیر همگی مثبت باشند،میانگین هندسی مقادیر برابراست با:

میانگین هندسی راباشیوه ای دیگرنیز محاسبه می کنند:

یعنی اگراز آنتی لگاریتم بگیریم مقدار بدست می آید.

ازمیانگین هندسی برای محاسبه ی میانگین نسبت ها،درصدها وحدمتوسط شاخص هااستفاده می شود.

مثال:فرض کنید در4منطقه نمونه برداری،میزان خسارت ناشی ازیک آفت25،30،24،45درصدگزارش شده است.متوسط خسارت چقدربوده است؟

حل:چون داده ها به شکل درصدهستندازمیانگین هندسی استفاده می کنیم

ویا

شیوه ی بدست آوردن :باید عدد10رابه توان مقدار برسانیم،که دراین مثال است.

تفاوت میانگین هندسی وحسابی:

میانگین هندسی کمترتحت تاثیر داده های خیلی بزرگ قرارمی گیرد،ازمیانگین هندسی برای محاسبه ی رشدمتوسط استفاده می شود(درصورتی که برای محاسبه ی رشد متوسط یا نرخ رشد یکسان،پایه ثابت نباشدوتولیدهرسال نسبت به سال قبل درنظر گرفته شود.

مثال:فرض کنیدتولیدکارخانه ای در4سال متوالی27،6،4،2برابرنسبت به سال قبل می باشد،متوسط افزایش تولیدبااستفاده ازمیانگین هندسی محاسبه می شود.میانگین حسابی برآورد مناسبی ازمتوسط افزایش تولیدنخواهد داد.

بااستفاده ازمیانگین حسابی:

بااستفاده ازمیانگین هندسی:

درچنین مسائلی که نسبت به سال قبل سنجیده می شود بایدازمیانگین هندسی استفاده کرد،مثلاًاگرتولیدسال اول10باشد(مادراینجاسال پایه را10درنظرگرفتیم وهرسال رانسبت به سال قبل خودش سنجیدیم)

میانگین هندسی می گوید تولید این کارخانه به طورمتوسط سالیانه 6برابرشده:

فرمول میانگین هندسی درجداول توزیع فراوانی:

=نماینده ی هرطبقه(طبقه ام)

=فراوانی مطلق طبقه ی  ام)

مثال:

نماینده

فراوانی مطلق

حدودطبقات

11

3

12-10

14

5

15-13

17

2

18-16

تمرین:تولیدکارخانه ای درطی سال های مختلف به شرح ذیل است مطلوب است محاسبه ی رشد متوسط؟

سال

63

64

65

66

67

68

حجم تولیدسالانه

15

20

30

30

35

40

 

اگرمتغیر زمان،اعداد صحیح رااختیارکند ونرخ رشدسالانه  درصدباشد مقدارارزش بعداززمان مساوی است بامقدار ارزش درزمان پایه

فرمول

برای محاسبه ی نرخ افزایش بین 2زمان،مانند درصدافزایش تولیدناخالص ملی بین2تاریخ ویا نرخ افزایش سود اگرمقادیرابتدا وانتهای دوره دردسترس باشد،نرخ متوسط افزایش ازفرمول زیر محاسبه م شود:

N=تعداد دوره

=ارزش درمقدار انتهایی

=ارزش درمقدارابتدایی

=نرخ رشد

مثال:اگرجمعیت کشور درسال77برابربا67میلیون نفر ودرسال67برابربا50میلیون نفرباشد،درصد افزایش سالیانه یا نرخ رشد رامحاسبه کنید.

حل:تعداد دوره=77-6=10سال           ،        

*داده هایی که به شکل درصدهستند دارای توزیع نرمال نیستندونمی شود ازآنها میانگین حسابی گرفت.

*میانگین هندسی باگرفتن توانایی نرمال کردن توزیع داده ها را دارد.

میانگین هارمونیک(هم ساز یا توافقی):

اگر همگی طبیعی باشند(صفرنباشند)،میانگین هارمونیک ازفرمول زیربدست می آید:

 

اگر داده های مانسبتی باشند،صورت ومخرج آنها مقیاس یکسانی نداشته باشد ولی صورت نسبت هاتقریباً مساوی باشد،ازآن برای محاسبه ی حدمتوسط سرعت،درعینک سازی یاشبکه های برق استفاده می شود.

به طورمثال اگریک کارمشخص ومعینی رایک کارگردر3روز وکارگر دوم در4روز وکارگرسوم در6روز انجام دهد.به طورمتوسط این کاردرچندروزقابل انجام است؟حل:

میانگین هارمونیک درجداول توزیع فراوانی:

داده هایی که درسری های زمانی(هفتگی،سالیانه،ماهیانه و...)محاسبه می گردند،مانند(درجه حرارت،میزان بارندگی،میزان رشدگیاه در  دوره های زمانی معین)یعنی تابعی هستنداز  پس .

برای بیان تحرک موجود در داده ها ازمیانگین متحرک استفاده می شود.

=میانگین متحرک سری های زمانی

مثال:فرض کنیدمیزان بارندگی درطی سال های زیربه صورت زیر است:

سال

60

61

62

63

64

65

میزان بارندگی

10

8

20

7

5

6

 

حل:

 

*به طور کلی .

مقایسه ی میانگین،میانه،مد وکاربرد آنها:

هرسه ازشاخص های مرکزی اند.امامیانگین شاخص بهتری است زیرا درمیانگین،برمقادیر داده ها و کلیه داده ها متکی هستیم.

اما در میانه ومد،به خود مقادیرکاری نداریم بلکه فقط نقطه ی مرکزی یا تکرار داده ها بیشتر مدنظراست.

میانه دربعضی موارد کاربردهایی داردکه میانگین ندارد،به طورمثال وقتی ابتدا یا انتهای جامعه مشخص نباشد به جای میانگین ازمیانه استفاده می شود.

ازخواص دیگر میانه این است که مجموع قدرمطلق انحراف ازمیانه از مجموع قدرمطلق انحراف داده ها ازهرشاخص یا عدد دیگری کمتراست.

فرض کنید می خواهیم دریک جاده،پمپ بنزینی احداث کنیم.ازاین پمپ بنزین چندین گاراژاستفاده کنیم برای ما مهم است بدانیم پمپ بنزین راکجا احداث کنیم تادرمجموع کمترین مسافت توسط اتوبوس ها برای سوخت گیری پیموده شود.

یا برای احداث محل سلف در دانشگاه باید جایی را انتخاب کنیم که در مجموع دانشجویان از دانشکده های مختلف کمترین مسافت را تا سلف طی کنند.

تمرین:فرض کنید بین2شهرکه فاصله ی آنها100کیلومتراست جندین گاراژوجود داشته باشد،درجدول زیرتعداد اتومبیل های هر گاراژ داده شده،فاصله ی گاراژهانسبت به یکدیگر ویکی ازشهرها مشخص شده است.محل پمپ بنزین راپیدا کنید.

تعداد اتومبیل ها

فواصل گاراژها

50

20-0

100

40-20

20

50-40

40

80-50

120

100-80

 

توزیع متقارن:به توزیع هایی که مقدار میانگین،مد ومیانه برابر باشد گفته می شود.

توزیع چوله( ):توزیع هایی که متقارن نیستند راتوزیع های دارای چولگی یا توزیع های چوله می گویند.

درتوزیع های چوله شاخص های مرکزی برهم منطبق نیستند ولی همیشه،میانه بین مد و میانگین قرار دارد.

-اگرمیانه از مد بزرگترباشد،چولگی به راست است(دم بزرگتر به سمت راست کشیده می شود)

             

 

 

 

 


-اگر دم بزرگتر به چپ کشیده شده باشد،چولگی به چپ است.یعنی(مد میانه میانگین) خواهد بود.

  

 

 

 

 

 

درتوزیع هایی که چولگی زیادنباشد،رابطه ی تجربی زیرکه به رابطه ی-پییرسن-مشهوراست،برقرار است:

(میانه- میانگین) مد- میانگین

 

 

 

 

 

 

 

معیارهای پراکندگی:

1+ کوچکترین داده - بزرگترین داده=دامنه ی کلی تغییرات

ان معیار برای پراکندگی داده ها مناسب نیست چون به ماهیت داده ها کاری ندارد،مثلاً در2مجموعه ی زیر است ولی پراکندگی داده ها درمجموعه ی زیربسیارمتفاوت است.

چارک متوسط:

آن رابا یا نشان می دهند.

=فاصله ی چارکی

این معیار،پراکندگی داده ها را نسبت به میانه نشان می دهد واز دامنه ی کلی تغییرات اعتبار آماری بیشتری دارد.

انحراف متوسط( ):

آن را با نشان می دهند.

انحراف متوسط،اعتبار آماری بیشتری نسبت به چارک متوسط و دامنه ی کلی تغییرات دارد.چون انحراف ازمیانگین محاسبه می شود ومیانگین ازمعتبرترین شاخص های مرکزی است.

محاسبه ی انحراف متوسط در جدول توزیع فراوانی:

=نمره ی متوسط هرطبقه است

درجداول طبقه بندی شده ،اگرتوزیع فراوانی داده ها متقارن باشد(یعنی مد و میانه و میانگین یکی باشند)طبق تجربه80%داده ها یا مشاهدات در دامنه ی قرار دارند.یعنی اگر اعداد ما دارای توزیع متقارن باشند وبخواهیم ازبین100 داده،میانه و مد و میانگین را اندازه بگیریم وADآنها را نیز حساب کنیم.مثلاً اگر را به دست آوریم و باشد،80%داده ها در رنج35 تا 65 قرارخواهند داشت.

انحراف معیار( ):

معتبرترین شاخص پراکندگی است که آن رابا برای جامعه وبرای نمونه آن رابا نشان می دهند.وعبارت است از جذر واریانس،که خود واریانس برابر است با میانگین مربع انحرافات یا به اختصار میانگین مربعات.

میانگین مربعات( )= :

اگر داده ها را ازمیانگین کم کنیم و انحرافات رابه توان2برسانیم وتقسیم بر داده ها کنیم ،واریانس بدست می آید.

فرمول کاربردی واریانس:

مثال:واریانس داده های زیر را بدست آورید:1و2و3و4و5و6

حل:     و  

*روی قوطی های موادغذایی عبارت( وزن)درج شده که نشان دهنده ی همان انحراف معیار است ومی گوید وزن قوطی به مقدار کمتر یا بیشتر است.مثلاً می گوید وزن قوطی 102گرم ویا 98گرم است.

محاسبه ی واریانس در جدول توزیع فراوانی:

عبارت دوم در فرمول واریانس یعنی( ) به ضریب تصحیح ))مشهور است وآن رابا نشان می دهند.

عبارت اول درفرمول واریانس یعنی( )مجموع مربعات( ) است که آن را به اختصار می گویند.

پس است.

در مورد نمونه فرمول واریانس مقداری تغییر می کند ودرآن همه ی ها به صورت در می آیند.  درجه ی آزادی ست ودر نمونه همه ی افراد درجه ی آزادی یکسانی دارند.

در پدیده هایی که توزیع متقارن دارندخصوصاً داده هایی که مربوط به پدیده های طبیعی هستند26/68درصد مشاهدات در فاصله ی

( انحراف معیار)قرار می گیرند.( ).

برای داده های که توزیع نرمال یا متقارن دارند(مثلاًمیانگین در نمره های یک دانش آموز15باشد وبگویند باید دارای توزیع نرمال باشند وانحراف معیاری که بدست آورده ایم2باشد،68%ازنمرات باید در فاصله ی داده ها قرار گیرد.

*نمرات یک درس حتماًباید دارای توزیع نرمال باشند.درحالت عادی نمرات باید به صورت زیر باشند:

*

*  ،

*

احتمال:

به طور کلی احتمال مربوط به آزمایش ها یا پیشامد های تصادفی است،به عبارت دیگر احتمالات بررسی آزمون های تصادفی اند.تابه اینجا درمورد آمارتوصیفی بحث شد،پارامترها یا شاخص های مرکزی وپراکندگی نمونه هایی که از جوامع گرفته می شد محاسبه شد.

حال اگربخواهیم نتایج بدست آمده از نمونه ها راباجامعه تعمیم دهیم این تصمیمات استنباطی براساس احتمال یا درست نمایی پیشامدها می باشد.

دراین فصل به اختصار نظریه احتمال را موردتجزیه وتحلیل قرارمی دهیم،قبل ازشروع لازم است مختصری در موردمفاهیم اساسی بحث شود.

تعاریف:

1)آزمایش:عبارت است ازهر روشی که امکان جمع آوری داده یا اطلاعات رابرای مافراهم آورد.به طورمثال اگربخواهیم درمورد سالم بودن یا نبودن یک سکه تحقیق کنیم آن را100بار پرتاب می کنیم ونتیجه ی هرپرتاب رایادداشت می نمائیم.پرتاب سکه به منظور جمع آوری اطلاعات را یک آزمایش می گوییم.

2)آزمایش تصادفی:آزمایشی ست که نتیجه ی آن ازقبل به طورقطعی مشخص نیست.به طور مثال پرتاب تاس به منظور آوردن عدد زوج یا فرد یک آزمایش تصادفی است.

 در مثال بالاپرتاب سکه نیز یک آزمایش تصادفی ست زیرا ازقبل مشخص نیست که سکه شیر یا خط می آید ولی اگر دراین مثال به زمین برگشتن سکه بررسی شود این آزمایش تصادفی نیست زیرا نتیجه ی آن ازقبل مشخص است وسکه حتماً به زمین برمی گردد.

درنظریه احتمال فقط با آزمایش های تصادفی سروکار داریم.

3)فضای نمونه:به مجموعه ی تمام نتایج ممکن در یک آزمایش گفته می شود وآن رابا حرفsنشان می دهیم.برای پرتاب یک سکه فضای نمونه رابه این صورت نشان می دهیم:  وبرای2 سکه فضای نمونه به این صورت است:

4)نقطه ی فضای نمونه :هرعضوازیک فضای نمونه را می گویند،مثلاًدرپرتاب 2سکه ،4نقطه فضای نمونه داریم.

5)پیشامد:هرمجموعه ازنتایج یک آزمایش را می گویند،به عبارت دیگر پیشامد،زیرمجموعه ای ازفضای نمونه ای است .پیشامدها راباحروف بزرگ نمایش می دهند.

مثال:فضای نمونه ی پرتاب یک تاس مجموعه ی  است ولی اعداد پیشامد فرد آمدن هستند.

یک مجموعه با عضو،دارای زیرمجموعه است.لذا برای هرفضای نمونه ای با عضو می تواند پیشامد تعریف کرد.

پیشامد ساده:پیشامدی که شامل یک نقطه ی نمونه ای است.

پیشامد مرکب:پیشامدی که بیش ازیک نقطه نمونه ای داشته باشد.

به طور مثال تاسی راپرتاب می کنیم،فضای نمونه ای برابراست با .پیشامد4آمدن( )یک پیشامد ساده و پیشامد زوج آمدن ( )یک پیشامد مرکب است.

قوانین شمارش:

دربرخی ازمسائل احتمال،مشکل اساسی،پیداکردن فضای نمونه است(تعیین تعداد نقاط فضای نمونه ای).

قوانین شمارش برای تعیین نقاط فضای نمونه ای و پیشامدها به کار می روند.

1-اصل شمارش:

اگرانتخابی را به طریق بتوان انجام داد و به ازای هر کدام از طریق، طریق متفاوت برای هر وجود داشته باشد.دراین صورت 2 انتخاب راباهم به میزان طریق می توان انجام داد.

فرض کنیدشما وارد رستورانی شده وقصد سفارش پیش غذا وغذای اصلی را دارید،صاحب رستوران2نوع پیش غذا و4نوع غذای الی رابه شما پیشنهاد می دهد.اگر معرف پیش غذاها و معرف غذاهای اصلی باشد،شما به مقدار طریق ترکیب غذایی روبرو هستید و می توانید به8طریق غذا سفارش دهید.

تعمیم اصل شمارش:اگرعملی رابه طریق وبرای هرکدام ازآنها عمل دومی به طریق وبه همین طریق برای هرکدام از آنها عمل به طریق وجود داشته باشد،این عمل باهم با طریق انجام خواهندشد.

مثال:با حروف کلمه ی (ت ه ر ا ن )چندکلمه ی 4حرفی می توان نوشت؟

الف)تکرار حروف جایز نباشد

ب)تکرار حروف جایز باشد

قوانین اصل شمارش:

1-قاعده ی تبدیل:

فرض کنید شیء متمایز دارید(مثل 4 حرف مختلف)تعداد حالاتی که می توان شیء متمایز را درکنارهم قرار داد،تبدیل شیء متمایز می نامند وآن رابا نشان می دهند وبرابر است با:!    و( )

مثال:به چندطریق می توان 6 نفر رادر یک صف کنارهم قرار داد؟ حل:

 

تبدیل های دوری:تبدیل هایی که به وسیله ی آن ،یک دسته از اشیاء را روی محیط دایره مرتب می کنیم.

بایدتوجه داشت که درتبدیل دوری،اگراشیاء روی محیط دایره رادرجهت حرکت عقربه های ساعت حرکت دهیم،ترتیب جدیدی بدست نمی آید.به عبارت دیگر 2تبدیل درصورتی متمایز درنظرگرفته می شود که درهنگام حرکت درجهت عقربه های ساعت اشیائی که در تبدیل روبروی هم قرار دارند با شیء دیگرجانشین شوند.به طورمثال اگر4نفرکه 2به2بایکدیگر دوست هستند،دور میز گردی بنشینند واین 4نفردر جهت حرکت عقربه های ساعت،یک محل تغییر مکان دهند،تبدیل جدیدی نخواهیم داشت.بلکه برای داشتن تبدیل جدید باید یک نفر رادر یک محل ثابت نگه داریم وسه نفردیگر جا به جا شوند.

به همین دلیل برای تبدیل های دوری به تعداد  تبدیل داریم.

*قضیه تبدیل های دوری:تعداد تبدیل های دوری شیء درورت ثابت بودن یکی ازآنها،برابراست با تبدیل جدید.

مثال:الف)به چندطریق می توان5نفررادر اطراف یک میزدایره ای شکل قرار داد؟ب)اگراین5نفر دریک ردیف قرار داشتند به چند طریق می توان آنها را جا به جا کرد؟

حل الف):

حل ب):

 

2-قاعده ی ترتیب:

فرض کنید شیء متمایز داریم و می خواهیم تا از آنها راکنارهم قرار دهیم(پس  ).ترتیب از تا رابا نشان می دهیم وبرابراست با:

درترتیب،انتخاب اشیاء مهم است(برایمان مهم است که ترتیب انتخاب به چه صورت باشد)

مثال:با حروف کلمه ی(م ا ش ی ن)چند کلمه ی3حرفی می توان نوشت؟(تکرار حروف جایز نیست)

حل:ماشین5حرف دارد،پس

 

3-قاعده ی ترکیب:

اگر درانتخاب شیء از شیء،ترتیب آنها مهم نباشد،این انتخاب راترکیب می گویند.وآن را به صورت زیر نشان می دهند:

ترکیب رابانماد نیزنشان می دهند.

مثال:ازیک گروه مرکب از5پزشک و3پرستار،چند کمیته ی3نفره می توان تشکیل داد؟

حل:        و

واگربخواهیم کمیته های3نفره مرکب از2پزشک و1پرستار باشند،به این صورت عمل می کنیم:

تمرین:4نفر از7کارگر یک کارگاه مرد هستند.به چند طریق می توان3نفراز کارگران را انتخاب نمود که حداکثر1نفر از آنها زن باشد؟



تاريخ : دوشنبه 1391/10/18 | 17 | نویسنده : حسابدار |
  • شهر قشنگ
  • وبلاگ دانشجوی حسابداری